Hurt se narodil v roce 1950 ve Washingtonu a jako mladý začal nejdřív v divadle, které i studoval. V Americe chodil do prestižní umělecké školy Juilliard, kde byli jeho spolužáky třeba Christopher Reeve, Robin Williams, nebo třeba Mandy Patinkin.

U divadla ale samozřejmě nezůstal. Zahrál si ve filmech Altered States, Body Heat, The Big Chill a spoustě dalších. Velký průlom pak přišel se snímkem Polibek pavoučí ženy (Kiss of the Spider Woman), za který dostal Hurt Oscara.

Zahrál si ale také ve filmech jako Broadcast News, Ztraceni ve vesmíru, nebo třeba Dějiny násilí.

Fanoušci Marvelu si ho pak mohou pamatovat jako Thaddea Rosse v Captain America: Občanská válka, Avengers: Infinity War, Avengers: Endgame a nakonec ještě v Black Widows. Vůbec poprvé se v této roli objevil ale už v roce 2008 v Neuvěřitelném Hulkovi, kde hrál hlavní roli Bruce Bannera nikoliv aktuální Mark Ruffalo, ale ještě jeho předchůdce Edward Norton.