Robertson zahájil filmovou kariéru v roce 1943 a objevil se v asi šedesátce filmů. Diváci v ČR měli příležitost ho spatřit mimo jiné ve válečném filmu Bitva o Midway (1976) nebo ve špionážním dramatu Tři dny Kondora (1975). Role ve filmu Charly, kde ztvárnil postiženého pomocníka v pekárně Charlieho Gordona, který se díky pokusu na čas stane géniem, mu v roce 1969 vynesla prestižního Oscara pro nejlepší mužský herecký výkon v hlavní roli. Film na motivy románu Růže pro Algernon spisovatele Daniela Keyese natočil Ralph Nelson.

Robertson podle amerického deníku The Los Angeles Times zemřel přirozenou smrtí ve zdravotnickém zařízení univerzity amerického státu New York ve Stony Brook den po narozeninách.